LTI-järjestelmät ja konvoluutio

Tänään käsiteltiin kappale 2 loppuun. Luennon alussa muistutettiin mieleen suodatuksen idea demon avulla (ks. kuva). Kuvassa ylimpänä on suodatettava signaali, joka etenee vasemmalta oikealle. Jokaisen uuden näytteen saapuessa (kuvan ulkopuolelta vasemmalta) kerrotaan punaisella merkityt näytteet kuvan keskellä keskellä olevilla kertoimilla. Näin saadut tulot lasketaan yhteen ja sijoitetaan tulos alla olevan kuvan punaisella merkityksi uusimmaksi vastearvoksi.

Tämän jälkeen jatkettiin teoreettisemmalla asialla, eli kappaleen 2.2 diskreettien järjestelmien ominaisuuksilla. Näistä lineaarisuus ja aikainvarianssi ovat ne perusominaisuudet jotka otetaan myöhemmän tarkastelun lähtökohdaksi. Myös stabiilisuus on kriittinen ominaisuus, koska epästabiililla suotimella ei tee mitään.

Kappaleessa 2.3 tarkastellaan LTI-järjestelmiä, eli järjestelmiä jotka ovat lineaarisia ja aikainvariantteja. Kappaleen alussa osoitetaan, että LTI-järjestelmät voidaan esittää konvoluution avulla (josta on esimerkki yo. kuvassa). LTI-järjestelmän hieno ominaisuus on, että sen impulssivaste määrää vasteen mille tahansa herätteelle. Esimerkkinä tästä tutustuttiin demoon, jossa impulssivaste oli saatu lyömällä käsiä yhteen kirkossa (ts. generoimalla impulssi) ja mittaamalla vaste, josta kaiku oli selvästi kuultavissa. Näin saatua impulssivastetta voidaan käyttää mallina tilan akustisista ominaisuuksista, ja myös kotivahvistinten tilaefektit (hall, arena, club, jne.) on toteutettu tällä periaatteella. Mallia testattiin laskemalla konvoluutio seiska-testisignaalin ja kyseisen impulssivasteen kesken. Tulos kuulosti kuin testisignaali olisi viety kirkkoon.

Toisena esimerkkinä konvoluution käytöstä reaalimaailman mallina mainittiin monitie-eteneminen tietoliikenteessä.

Konvoluution ominaisuuksien käsittelyn yhteydessä tuotiin esille niiden yhteys LTI-järjestelmien yhdistämiseen: peräkkäiset tai rinnakkaiset LTI-järjestelmät voidaan esittää yhtenä järjestelmänä ja toisaalta niiden järjestys ei vaikuta lopputulokseen.

Kappaleen lopussa määriteltiin FIR- ja IIR-suotimet LTI-järjestelmien alalajeina. FIR-suotimet ovat yksinkertaisuutensa vuoksi laajemmin käytettyjä, mutta IIR-suodinten ilmaisuvoima ja laskennallinen tehokkuus tekevät niistä hyödyllisiä useissa tilanteissa. IIR-suotimet ovat analogisten suodinten digitaalinen vastine, ja niiden kertoimet saadaankin suunnittelemalla ensin vastaava analoginen suodin ja muuntamalla tulos digitaaliseksi ns. bilineaarimuunnoksella.

Testikysymys: onko seuraava suodin FIR vai IIR?

y(n) = 0.9 y(n-1) - y(n-2) + x(n) + 0.5 x(n-1) +2 x(n-2)

Tähän nyt varmaan jokainen tietää vastauksen. Haastavampaa on selvittää esim. se, onko yo. suodin stabiili. Tähän ratkaisu löytyy prujun sivulta 68, johon pääsemme aikanaan.

Sovelluksia ja signaalien ja järjestelmien perusteita

Tänään käsiteltiin monisteen sivut 5-15. Ensimmäisena asiana vertailtiin digitaalisia suotimia vastaaviin analogisiin suotimiin. Esimerkiksi kurssilla opittava tietyn taajuuskaistan poistava suodin on mahdollista toteuttaa myös analogisesti. Kysymys kuuluukin miksi sama pitäisi tehdä digitaalisesti. Prujussa mainittujen lisäksi digitaalisuudesta on (ainakin) kolme merkittävää etua:

1. "Digitaalinen toiminnallisuus" tarkoittaa suomeksi softaa, jonka ainutkertainen ominaisuus on että saman tuotteen voi myydä useaan kertaan. Tästä syystä myös Bill Gates on maailman rikkain ihminen. Jos myyntimäärät ovat riittävän suuria, monimutkaisenkin softan toteutuksen hinta on mitätön suhteessa siitä saatavaan hyötyyn. Kannattaa siis hyvinkin palkata 10 DI:tä tekemään softalla ratkaisu, joka laskee lopputuotteen tuotantokustannusta esim. vain 10 senttiä, jos tuotetta myydään miljoonia kappaleita.
2. Digitaalisuunnittelu on usein helpompaa kuin analogiasuunnittelu. SDSU:n kuuluisa professori frederick j. harris [sic] vertasi puheessaan työskentelyä digitaalisessa maailmassa työskentelyyn San Diegossa ja työtä analogisella puolella työhön Minnesotassa. San Diegossa on suunnilleen Välimeren ilmasto ja Minnesotassa suunnilleen Suomen ilmasto.
3. Softatoteutus on joustavampi. Jos syystä tai toisesta tuotteen vaatiman suotimen vaatimukset muuttuvat, analogiatoteutukseen tilatut komponentit menevät romukoppaan. Digitaalisen suotimen tapauksessa käännetään softasta uusi versio ja aloitetaan tuotanto.

Kappaleen 2 alussa käsitellään usein käytettyjen jonojen perusmääritelmät ja lohkokaavioiden perusoperaatiot. Näiden käsittelyn aikana kurkattiin jo tulevaan: tämän kurssin suotimet voidaan esittää konvoluution avulla, joka laskee painotetun keskiarvon N:stä viimeksi sisään tulleesta näytteestä.

Vanhat harkkapisteet

Muutama opiskelija kyseli vanhoista harkkabonuksista ja paljonko niitä mahtoikaan olla.

Vanhat sivut ja harkkapisteet ovat tallessa jossain palvelimen syövereissä, kunhan osaa arvata osoitteen. Tässä pari linkkiä:

http://www.cs.tut.fi/kurssit/SGN-1200/Kes07/harjoitukset/
http://www.cs.tut.fi/kurssit/SGN-1200/K08/harjoitukset/

Harkat ovat voimassa edelleen, mutta niitä ei voi täydentää vaan uusien pisteiden kerääminen alkaa nyt nollasta.

Kurssiblogi perustettu

Kurssin SGN-1200 kurssiblogi on perustettu. Blogissa kirjataan jokaisen luennon jälkeen luennolla käydyt asiat lyhyesti. Lisäksi käsittelen blogissa luennolla tai sen jälkeen esiin nousseita kysymyksiä, luennolla käytyjä linkkejä, jne.

Tänään luennolla käsiteltiin kurssin hallinnolliset asiat, tehtiin prujutilaukset sekä käsiteltiin luentomonisteen alkua. Prujujen monistuksesta vastaa Tele-kilta, jota voi vielä yrittää lähestyä prujutilauksella. Prujun tilanneihin otetaan yhteyttä sähköpostitse mistä ja koska sen saa hakea.

Toisella tunnilla varsinaista asiaa alustettiin puhumalla A/D-muunnoksesta, digitaalisista signaaleista, digitaalisista suotimista sekä Fourier-muunnoksesta. Täsmällisemmin nämä asiat käsitellään myöhemmin kurssilla. Erästä testisignaalia (seiska.mat) tarkasteltiin Matlabilla, ja todettiin, että spektrogrammissa näkyvät selvästi eri äänteet.

Ensimmäisenä varsinaisena asiana käsiteltiin näytteenottoteoreema, jonka mukaan naytteistämisessä ei häviä informaatiota, jos näytteenottotaajuus on vähintään tuplat signaalin korkeimpaan taajuuteen nähden. Käytännössä ennen näytteistystä täytyy siis poistaa liian korkeat taajuudet analogisella suotimella ettei laskostumista pääsisi tapahtumaan. Lopuksi verrattiin ilmiötä videokuvaan, jossa esimerkiksi kärrynpyörä saattaa näyttää pyörivän väärään suuntaan. Sääntö on tässäkin tapauksessa sama: kuvia pitää ottaa vähintään kaksi per kierros. Aikaisempina vuosina on luennon jälkeen keskusteltu miksi live-tilanteessakin pyörät saattavat näyttää pyörivän väärään suuntaan tai miksi herkemmät ihmiset saattavat havaita loisteputkien värinän. Yksi tulkinta molemmista on että myös ihmisaivot toimivat tietyllä "kellotaajuudella", joka määrää sen minkä taajuiset ilmiöt voidaan havaita.

Luennon jälkeen kysyttiin voiko jollain lailla tehdä sekä tentin että välikokeen (ja missä vaiheessa valinta suoritustavasta täytyy tehdä). Valinta täytyy tehdä vasta toisessa välikoetilanteessa: 2. välikoe on samaan aikaan tentin kanssa, ja kaikki saavat sekä välikokeen että tentin kysymykset. Vastata saa joko 2. välikokeeseen tai tenttiin. Valinta kannattanee tehdä 1. välikokeen menestyksen perusteella sekä sen mukaan kummat tehtävät näyttävät helpommalta. Koska suoritustavan valinnan voi tehdä näinkin myöhään, ei liene mitään syytä olla menemättä 1. välikokeeseen.