LTI-järjestelmät ja konvoluutio

Tänään käsiteltiin kappale 2 loppuun. Luennon alussa muistutettiin mieleen suodatuksen idea demon avulla (ks. kuva). Kuvassa ylimpänä on suodatettava signaali, joka etenee vasemmalta oikealle. Jokaisen uuden näytteen saapuessa (kuvan ulkopuolelta vasemmalta) kerrotaan punaisella merkityt näytteet kuvan keskellä keskellä olevilla kertoimilla. Näin saadut tulot lasketaan yhteen ja sijoitetaan tulos alla olevan kuvan punaisella merkityksi uusimmaksi vastearvoksi.

Tämän jälkeen jatkettiin teoreettisemmalla asialla, eli kappaleen 2.2 diskreettien järjestelmien ominaisuuksilla. Näistä lineaarisuus ja aikainvarianssi ovat ne perusominaisuudet jotka otetaan myöhemmän tarkastelun lähtökohdaksi. Myös stabiilisuus on kriittinen ominaisuus, koska epästabiililla suotimella ei tee mitään.

Kappaleessa 2.3 tarkastellaan LTI-järjestelmiä, eli järjestelmiä jotka ovat lineaarisia ja aikainvariantteja. Kappaleen alussa osoitetaan, että LTI-järjestelmät voidaan esittää konvoluution avulla (josta on esimerkki yo. kuvassa). LTI-järjestelmän hieno ominaisuus on, että sen impulssivaste määrää vasteen mille tahansa herätteelle. Esimerkkinä tästä tutustuttiin demoon, jossa impulssivaste oli saatu lyömällä käsiä yhteen kirkossa (ts. generoimalla impulssi) ja mittaamalla vaste, josta kaiku oli selvästi kuultavissa. Näin saatua impulssivastetta voidaan käyttää mallina tilan akustisista ominaisuuksista, ja myös kotivahvistinten tilaefektit (hall, arena, club, jne.) on toteutettu tällä periaatteella. Mallia testattiin laskemalla konvoluutio seiska-testisignaalin ja kyseisen impulssivasteen kesken. Tulos kuulosti kuin testisignaali olisi viety kirkkoon.

Toisena esimerkkinä konvoluution käytöstä reaalimaailman mallina mainittiin monitie-eteneminen tietoliikenteessä.

Konvoluution ominaisuuksien käsittelyn yhteydessä tuotiin esille niiden yhteys LTI-järjestelmien yhdistämiseen: peräkkäiset tai rinnakkaiset LTI-järjestelmät voidaan esittää yhtenä järjestelmänä ja toisaalta niiden järjestys ei vaikuta lopputulokseen.

Kappaleen lopussa määriteltiin FIR- ja IIR-suotimet LTI-järjestelmien alalajeina. FIR-suotimet ovat yksinkertaisuutensa vuoksi laajemmin käytettyjä, mutta IIR-suodinten ilmaisuvoima ja laskennallinen tehokkuus tekevät niistä hyödyllisiä useissa tilanteissa. IIR-suotimet ovat analogisten suodinten digitaalinen vastine, ja niiden kertoimet saadaankin suunnittelemalla ensin vastaava analoginen suodin ja muuntamalla tulos digitaaliseksi ns. bilineaarimuunnoksella.

Testikysymys: onko seuraava suodin FIR vai IIR?

y(n) = 0.9 y(n-1) - y(n-2) + x(n) + 0.5 x(n-1) +2 x(n-2)

Tähän nyt varmaan jokainen tietää vastauksen. Haastavampaa on selvittää esim. se, onko yo. suodin stabiili. Tähän ratkaisu löytyy prujun sivulta 68, johon pääsemme aikanaan.